Acest calculator online calculează produsul vectorial al vectorilor. Se oferă o soluție detaliată. Pentru a calcula produsul încrucișat al vectorilor, introduceți coordonatele vectorilor în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Produs vectorial al vectorilor

Înainte de a trece la definiția produsului vectorial al vectorilor, să luăm în considerare conceptele triplet vector ordonat, triplet vector stânga, triplet vector dreapta.

Definiție 1. Se numesc trei vectori a comandat triplu(sau triplu), dacă se indică care dintre acești vectori este primul, care este al doilea și care este al treilea.

Înregistra cba- înseamnă - primul este un vector c, al doilea este vectorul b iar al treilea este vectorul o.

Definiția 2. Triplul vectorilor necoplanari abc se numește dreapta (stânga) dacă, atunci când sunt reduse la o origine comună, acești vectori sunt localizați în același mod în care sunt localizați degetul mare, neîndoit și, respectiv, mijlociu ale mâinii drepte (stânga).

Definiția 2 poate fi formulată diferit.

Definiţia 2". Triplul vectorilor necoplanari abc se numește dreapta (stânga) dacă, atunci când este redus la o origine comună, vectorul c este situat pe cealaltă parte a planului definit de vectori oŞi b, unde este cea mai scurtă viraj de la o La b efectuat în sens invers acelor de ceasornic (în sensul acelor de ceasornic).

Troica vectorilor abc, prezentată în fig. 1 are dreptate și trei abc prezentat în Fig. 2 este cel din stânga.

Dacă două triplete de vectori sunt la dreapta sau la stânga, atunci se spune că sunt de aceeași orientare. Altfel se spune că sunt de orientare opusă.

Definiție 3. Un sistem de coordonate carteziene sau afine se numește dreapta (stânga) dacă trei vectori de bază formează un triplu drept (stânga).

Pentru certitudine, în cele ce urmează vom lua în considerare numai sistemele de coordonate drepte.

Definiția 4. Opera de artă vectorială vector o a vector b numit vector Cu, notat cu simbolul c=[ab] (sau c=[a,b], sau c=a×b) și îndeplinind următoarele trei cerințe:

lungimea vectorului Cu egal cu produsul lungimilor vectorului oŞi b prin sinusul unghiului φ intre ei:

|c|=|[ab]|=|o||b|sinφ;

(1)

vector Cu ortogonal la fiecare dintre vectori oŞi b;
vector cîndreptată astfel încât cele trei abc are dreptate.

Produsul încrucișat al vectorilor are următoarele proprietăți:

[ab]=−[ba] (anti-permutabilitate factori);
[(λa)b]=λ [ab] (combinaţie raportat la factorul numeric);
[(a+b)c]=[oc]+[bc] (distributivitatea relativ la suma vectorilor);
[aa]=0 pentru orice vector o.

Proprietățile geometrice ale produsului vectorial al vectorilor

Teorema 1. Pentru ca doi vectori să fie coliniari, este necesar și suficient ca produsul lor vectorial să fie egal cu zero.

Dovada. Necesitate. Lasă vectorii oŞi b coliniare. Atunci unghiul dintre ele este de 0 sau 180° și sinφ=păcat180=păcat 0=0. Prin urmare, ținând cont de expresia (1), lungimea vectorului c egal cu zero. Apoi c vector zero.

Adecvarea. Fie produsul vectorial al vectorilor oŞi b evident zero: [ ab]=0. Să demonstrăm că vectorii oŞi b coliniare. Dacă cel puţin unul dintre vectori oŞi b zero, atunci acești vectori sunt coliniari (deoarece vectorul zero are o direcție nedefinită și poate fi considerat coliniar cu orice vector).

Dacă ambii vectori oŞi b diferit de zero, apoi | o|>0, |b|>0. Apoi de la [ ab]=0 iar din (1) rezultă că sinφ=0. Prin urmare vectorii oŞi b coliniare.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2. Lungimea (modulul) produsului vectorial [ ab] este egal cu aria S paralelogram construit pe vectori reduși la o origine comună oŞi b.

Dovada. După cum știți, aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente ale acestui paralelogram și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare:

Atunci produsul vectorial al acestor vectori are forma:

Extinderea determinantului peste elementele primului rând, obținem descompunerea vectorului a×b pe bază i, j, k, care este echivalent cu formula (3).

Demonstrarea teoremei 3. Să creăm toate perechile posibile de vectori de bază i, j, kși calculați produsul lor vectorial. Trebuie luat în considerare faptul că vectorii de bază sunt reciproc ortogonali, formează un triplu dreptaci și au lungimea unitară (cu alte cuvinte, putem presupune că i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Atunci avem:

Din ultima egalitate și relații (4), obținem:

Să creăm o matrice 3x3, al cărei prim rând este vectorii de bază i, j, k, iar liniile rămase sunt umplute cu elemente vectoriale oŞi b:

Astfel, rezultatul produsului vectorial al vectorilor oŞi b va fi un vector:

Exemplul 2. Găsiți produsul vectorial al vectorilor [ ab], unde este vectorul o reprezentată prin două puncte. Punctul de pornire al vectorului a: , punctul final al vectorului o: , vector b arata ca .

Soluție: Mutați primul vector la origine. Pentru a face acest lucru, scădeți coordonatele punctului de plecare din coordonatele corespunzătoare ale punctului final:

Să calculăm determinantul acestei matrice extinzând-o de-a lungul primului rând. Rezultatul acestor calcule este produsul vectorial al vectorilor oŞi b.

Definiţie. Produsul vectorial al vectorului a și vectorului b este un vector notat cu simbolul [α, b] (sau l x b), astfel încât 1) lungimea vectorului [a, b] este egală cu (p, unde y este unghiul dintre vectorii a și b ( Fig. 31 2) vectorul [a, b) este perpendicular pe vectorii a și b, i.e. perpendicular pe planul acestor vectori; 3) vectorul [a, b] este direcționat în așa fel încât de la sfârșitul acestui vector cea mai scurtă rotație de la a la b se vede că are loc în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 32). Orez. 32 Fig.31 Cu alte cuvinte, vectorii a, b și [a, b) formează un triplet din dreapta de vectori, i.e. dispuse ca degetul mare, arătător și mijlociu mâna dreaptă. Dacă vectorii a și b sunt coliniari, vom presupune că [a, b] = 0. Prin definiție, lungimea produsului vectorial este egală numeric cu aria Sa a unui paralelogram (Fig. 33), construit pe baza multiplicată. vectorii a și b ca laturi: 6.1 . Proprietăţile unui produs vectorial 1. Un produs vectorial este egal cu vectorul zero dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre vectorii înmulțiți este zero sau când acești vectori sunt coliniari (dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci unghiul dintre ei este fie 0, fie 7r). / Dacă punctele O, A, B, C nu se află în același plan (vectorii a, b și c sunt necoplanari), vom construi un paralelipiped pe muchiile OA, OB și OS (Fig. 38 a) . Prin definiția unui produs vectorial, avem (a,b) = So c, unde So este aria paralelogramului OADB și c este vectorul unitar perpendicular pe vectorii a și b și astfel încât triplul a , b, c este dreptaci, i.e. vectorii a, b și c sunt localizați, respectiv, ca degetul mare, arătător și mijlociu ale mâinii drepte (Fig. 38 b). Înmulțind scalar ambele părți ale ultimei egalități din dreapta cu vectorul c, obținem că produsul vectorial al vectorilor dat de coordonate. Munca mixta. Numărul pc c este egal cu înălțimea h a paralelipipedului construit, luată cu semnul „+” dacă unghiul dintre vectorii c și c este ascuțit (triplu a, b, c - dreapta), și cu „-” semn dacă unghiul este obtuz (triplu a, b, c - stânga), astfel încât. Astfel, produsul mixt al vectorilor a, b și c este egal cu volumul V al paralelipipedului construit pe acești vectori ca pe muchii, dacă triplul a, b, c este drept și -V, dacă triplul a , b, c - stânga. Pe baza semnificației geometrice a produsului mixt, putem concluziona că înmulțind aceiași vectori a, b și c în orice altă ordine, vom obține întotdeauna fie +7, fie -K. Marca producătorului Fig. 38 de referință va depinde doar de ce fel de triplu formează vectorii înmulțiți - dreapta sau stânga. Dacă vectorii a, b, c formează un triplu dreptaci, atunci triplele b, c, a și c, a, b vor fi și ele dreptaci. În același timp, toate cele trei triple b, a, c; a, c, b și c, b, a - stânga. Astfel, (a,b, c) = (b,c, a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(c,b , O). Subliniem din nou că produsul mixt al vectorilor este egal cu zero numai dacă vectorii înmulțiți a, b, c sunt coplanari: (a, b, c sunt coplanari) 7.2. Produs mixt în coordonate Fie vectorii a, b, c dați de coordonatele lor în baza i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Să găsim o expresie pentru produsul lor mixt (a, b, c). Avem un produs mixt de vectori specificați prin coordonatele lor în baza i, J, k, egal cu determinantul de ordinul trei, ale căror linii sunt compuse, respectiv, din coordonatele primului, al doilea și al treilea dintre vectorii înmulțiți. Condiția necesară și suficientă pentru coplanaritatea vectorilor a y\, Z|), b = (хъ У2.22), с = (жз, з, 23) se va scrie sub următoarea formă У| z, ag2 y2 -2 =0. Uz Exemplu. Verificați dacă vectorii „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) sunt coplanari. 7.3. Produsul dublu încrucișat Produsul dublu încrucișat [a, [b, c]] este un vector perpendicular pe vectorii a și [b, c]. Prin urmare, se află în planul vectorilor b și c și poate fi extins în acești vectori. Se poate arăta că formula [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) este valabilă. Exerciţii 1. Trei vectori AB = c, Ж? = o și CA = b servesc drept laturi ale triunghiului. Exprimați în termeni de a, b și c vectorii care coincid cu medianele AM, DN, CP ale triunghiului. 2. Ce condiție trebuie să fie legați vectorii p și q astfel încât vectorul p + q să împartă unghiul dintre ei la jumătate? Se presupune că toți cei trei vectori sunt legați de o origine comună. 3. Calculați lungimea diagonalelor unui paralelogram construit pe vectorii a = 5p + 2q și b = p - 3q, dacă se știe că |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. Notând cu a și b laturile rombului care se extind de la vârful comun, demonstrați că diagonalele rombului sunt reciproc perpendiculare. 5. Calculați produsul scalar al vectorilor a = 4i + 7j + 3k și b = 31 - 5j + k. 6. Aflați vectorul unitar a0 paralel cu vectorul a = (6, 7, -6). 7. Aflați proiecția vectorului a = l+ j- kHa vector b = 21 - j - 3k. 8. Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii IS “w, dacă A(-4,0,4), B(-1,6,7), C(1,10,9). 9. Aflați vectorul unitar p°, care este simultan perpendicular pe vectorul a = (3, 6, 8) și pe axa Ox. 10. Calculați sinusul unghiului dintre diagonalele paralelogramului construit pe vectorii a = 2i+J-k, b=i-3j + k ca pe laturi.

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării unui triplu ordonat al vectorilor a →, b →, c → în spațiul tridimensional.

Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → poate fi dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → însuși. Tipul de triplă a → , b → , c → va fi determinat din direcția în care se face cea mai scurtă tură de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → .

Dacă virajul cel mai scurt este efectuat în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește corect, dacă în sensul acelor de ceasornic - stânga.

În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b →. Să reprezentăm apoi vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c →, care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C →. Astfel, atunci când construim vectorul în sine A D → = c →, o putem face în două moduri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Un triplu ordonat al vectorilor a → , b → , c → poate fi, după cum am descoperit, dreapta sau stânga în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție este dat pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector definit într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
va fi perpendicular atât pe vectorul a → cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
lungimea sa este determinată de formula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
triplul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul vectorial al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b →.

Coordonatele produsului vectorial

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, putem introduce o a doua definiție a unui produs vectorial, care ne va permite să găsim coordonatele acestuia folosind coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) se numește vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul trei, unde primul rând conține vectorii vectori i → , j → , k → , al doilea rând conține coordonatele vectorului a → , iar al treilea rând conține coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, acesta este determinantul matricei arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandând acest determinant în elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietățile unui produs încrucișat

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe baza proprietățile determinantului matricei sunt afișate următoarele proprietățile unui produs vectorial:

anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b →, unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți au dovezi simple.

Ca exemplu, putem demonstra proprietatea anticomutativă a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează că produsul vectorial este anticomutativ.

Produs vectorial - exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de probleme.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date și trebuie să găsiți lungimea produsului vectorial. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor a → și b → dacă cunoașteți a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Soluţie

Determinând lungimea produsului vectorial al vectorilor a → și b →, rezolvăm această problemă: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Răspuns: 15 2 2 .

Problemele de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, în ele produsul vectorial, lungimea acestuia etc. căutate prin coordonate cunoscute vectori dați a → = (a x; a y; a z) Şi b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de problemă, puteți rezolva o mulțime de opțiuni de activitate. De exemplu, nu pot fi specificate coordonatele vectorilor a → și b →, ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, sau vectorii a → și b → pot fi specificați prin coordonatele începutului lor și punctele finale.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular se dau doi vectori: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Găsiți produsul lor încrucișat.

Soluţie

Prin a doua definiție, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scriem produsul vectorial prin determinantul matricei, atunci soluția acestui exemplu arată astfel: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor i → - j → și i → + j → + k →, unde i →, j →, k → sunt vectorii unitari ai sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie

Mai întâi, să găsim coordonatele unui produs vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1; - 1; 0) și respectiv (1; 1; 1). Să aflăm lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial folosind formula (vezi secțiunea despre găsirea lungimii unui vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplul 4

Într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, sunt date coordonatele a trei puncte A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Soluţie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C →, este evident că este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C →, adică este o soluție a problemei noastre. Să o găsim A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . - unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea acesteia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului vectorial 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Soluţie

Prin proprietatea distributivă a unui produs vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici din semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 și b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, atunci 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2. Acum tot ce rămâne este să înlocuiți valorile găsite în formulele adecvate: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Lungimea produsului vectorial al vectorilor prin definiție este egală cu a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece se știe deja (din cursul școlii) că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre aceste laturi. În consecință, lungimea produsului vectorial este egală cu aria paralelogramului - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub forma vectorilor a → și b →, așezați dintr-un punct, de sinusul lui unghiul dintre ele sin ∠ a →, b →.

Acesta este sensul geometric al unui produs vectorial.

Sensul fizic al produsului vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul unei forțe față de un punct din spațiu.

Definiția 3

Prin momentul forței F → aplicat punctului B, relativ la punctul A, vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F →.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs vectorial al vectorilorŞi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, uneori se întâmplă că pentru fericire deplină, în plus produsul scalar al vectorilor, sunt necesare din ce în ce mai multe. Aceasta este dependența de vectori. Poate părea că intrăm în jungla geometriei analitice. Acest lucru este greșit. În această secțiune a matematicii superioare există în general puțin lemn, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs punctual, vor fi chiar mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au convins deja, este să NU FACEȚI GREȘELI LA CALCULE. Repetă ca o vrajă și vei fi fericit =)

Dacă vectorii strălucesc undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv. Am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Ce te va face fericit imediat? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei mingi. A mers bine. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Această operație, la fel ca și produsul scalar, implică doi vectori. Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notat cu după cum urmează: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor în acest fel, între paranteze pătrate cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produsul scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci care este diferența? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici provine numele operațiunii. În diverse literatură educațională desemnările pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiţie: produs vectorial necoliniare vectori, luate în această ordine, numit VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Să descompunem definiția, sunt o mulțime de lucruri interesante aici!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectorii originali, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectori într-o ordine strict definită: – „a” se înmulțește cu „fi”, și nu „fi” cu „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR, care este indicat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, obținem un vector egal ca lungime și opus ca direcție (culoarea zmeurului). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Nota : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului vectorial nu este egală cu aria paralelogramului.

Să ne amintim una dintre formulele geometrice: Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMIEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că formula este despre LUNGIMEA vectorului și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este că în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să luăm a doua formulă importantă. Diagonala unui paralelogram (linie punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită folosind formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata zmeură) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază are corect orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama ce este orientarea în spațiu. Îți voi explica pe degete mâna dreaptă. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Degetul inelar și degetul mic apăsați-l în palmă. Ca urmare degetul mare– produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este o bază orientată spre dreapta (este cea din figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. S-ar putea să aveți o întrebare: ce bază a lăsat orientarea? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului este schimbată de cea mai obișnuită oglindă, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, acesta nu va fi posibil să-l combinați cu „originalul”. Apropo, ține trei degete de oglindă și analizează reflexia ;-)

...ce bine e despre care știi acum orientat spre dreapta și spre stânga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre o schimbare de orientare sunt înfricoșătoare =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost discutată în detaliu, rămâne să aflăm ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci pot fi plasați pe o singură linie dreaptă și paralelogramul nostru se „adună” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenera paralelogramul este egal cu zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci Şi . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și se scrie că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector cu el însuși:

Folosind produsul vectorial, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice este posibil să aveți nevoie tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să aprindem focul:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauze la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) În funcție de condiție, trebuie să găsiți lungime vector (produs încrucișat). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Dacă ați fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) În funcție de condiție, trebuie să găsiți pătrat paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul nu vorbește deloc despre produsul vectorial despre care am fost întrebați zona figurii, în consecință, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să găsim în funcție de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar răspuns. Poate părea literal, dar există o mulțime de profesori literali printre ei, iar misiunea are șanse mari să fie returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o dispută deosebit de exagerată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest punct trebuie ținut întotdeauna sub control atunci când rezolvăm orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde a ajuns litera mare „en”? În principiu, ar fi putut fi atașat suplimentar la soluție, dar pentru a scurta intrarea, nu am făcut asta. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare pentru același lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, în general, triunghiurile te pot chinui.

Pentru a rezolva alte probleme vom avea nevoie de:

Proprietăți ale produsului vectorial al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) – mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) – asociativ sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele pot fi mutate cu ușurință în afara produsului vectorial. Serios, ce ar trebui să facă acolo?

4) – distribuție sau distributiv legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Pentru a demonstra, să ne uităm la un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Condiția necesită din nou găsirea lungimii produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, luăm constantele în afara domeniului produsului vectorial.

(2) Luăm constanta în afara modulului, iar modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Restul este clar.

Răspuns:

Este timpul să adăugați mai multă lemne la foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria triunghiului folosind formula . Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși prezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor. Pentru claritate, vom împărți soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, să exprimăm un vector în termeni de vector. Încă nu se vorbește despre lungimi!

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, mutăm toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, pașii 2 și 3 pot fi executați simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății frumoase. În al doilea termen folosim proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca urmare, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care este ceea ce trebuia să fie realizat:

2) În a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Etapele 2-3 ale soluției ar fi putut fi scrise într-un singur rând.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia de sus a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă– mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile ar trebui schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
O)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul va depinde de definiție, semnificația geometrică și câteva formule de lucru.

Un produs mixt de vectori este produsul a trei vectori:

Așa că s-au aliniat ca un tren și abia așteaptă să fie identificați.

Mai întâi, din nou, o definiție și o imagine:

Definiţie: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine, numit volum paralelipiped, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „–” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt desenate cu linii punctate:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Se iau vectori într-o anumită ordine, adică rearanjarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu are loc fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi observa un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi ușor diferit. Sunt obișnuit să desemnez un produs mixt prin , iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definiție produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul unui paralelipiped dat.

Nota : Desenul este schematic.

4) Să nu ne îngrijorăm din nou cu privire la conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Direct din definiție urmează formula de calcul al volumului unui paralelipiped construit pe vectori.

Definiţie. Produsul vectorial al vectorului a (multiplicand) și al unui vector necoliniar (multiplicand) este al treilea vector c (produs), care este construit după cum urmează:

1) modulul său este numeric egal cu aria paralelogramului din fig. 155), construit pe vectori, adică este egal cu direcția perpendiculară pe planul paralelogramului menționat;

3) în acest caz, se alege direcția vectorului c (dintre două posibile) astfel încât vectorii c să formeze un sistem de dreapta (§ 110).

Denumire: sau

Adăugarea la definiție. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci luând în considerare figura (condițional) un paralelogram, este firesc să atribuiți o zonă zero. Prin urmare, produsul vectorial al vectorilor coliniari este considerat egal cu vectorul nul.

Deoarece vectorului nul i se poate atribui orice direcție, acest acord nu contrazice paragrafele 2 și 3 din definiție.

Observație 1. În termenul „produs vectorial” primul cuvânt indică faptul că rezultatul acțiunii este un vector (spre deosebire de un produs scalar; cf. § 104, observația 1).

Exemplul 1. Găsiți produsul vectorial în care sunt vectorii principali ai sistemului de coordonate drept (Fig. 156).

1. Deoarece lungimile vectorilor principali sunt egale cu o unitate de scară, aria paralelogramului (pătratului) este numeric egală cu unu. Aceasta înseamnă că modulul produsului vectorial este egal cu unu.

2. Deoarece perpendiculara pe plan este o axă, produsul vectorial dorit este un vector coliniar cu vectorul k; și deoarece ambele au modulul 1, atunci produsul vectorial dorit este egal fie cu k, fie cu -k.

3. Dintre acești doi vectori posibili trebuie ales primul, întrucât vectorii k formează un sistem dreptaci (iar vectorii unul stânga).

Exemplul 2. Găsiți produsul încrucișat

Soluţie. Ca și în exemplul 1, concluzionăm că vectorul este egal fie cu k, fie cu -k. Dar acum trebuie să alegem -k, deoarece vectorii formează un sistem dreptaci (iar vectorii formează unul stânga). Aşa,

Exemplul 3. Vectorii au lungimi egale cu 80, respectiv 50 cm și formează un unghi de 30°. Luând metrul ca unitate de lungime, găsiți lungimea produsului vectorial a

Soluţie. Aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu Lungimea produsului vectorial dorit este egală cu

Exemplul 4. Aflați lungimea produsului vectorial al acelorași vectori, luând centimetri ca unitate de lungime.

Soluţie. Deoarece aria unui paralelogram construit pe vectori este egală, lungimea produsului vectorial este egală cu 2000 cm, adică.

Dintr-o comparație a exemplelor 3 și 4 este clar că lungimea vectorului depinde nu numai de lungimile factorilor, ci și de alegerea unității de lungime.

Semnificația fizică a unui produs vectorial. Dintre numeroasele mărimi fizice reprezentate de produsul vectorial, vom lua în considerare doar momentul forței.

Fie A punctul de aplicare al forței Momentul forței relativ la punctul O se numește produs vectorial Deoarece modulul acestui produs vectorial este numeric egal cu aria paralelogramului (Fig. 157). modulul momentului este egal cu produsul dintre bază și înălțime, adică forța înmulțită cu distanța de la punctul O la dreapta de-a lungul căreia acționează forța.

În mecanică, se dovedește că pentru echilibrul unui corp rigid este necesar ca nu numai suma vectorilor reprezentând forțele aplicate corpului să fie egală cu zero, ci și suma momentelor de forță. În cazul în care toate forțele sunt paralele cu un plan, adunarea vectorilor reprezentând momente poate fi înlocuită prin adăugarea și scăderea mărimilor acestora. Dar cu direcții arbitrare ale forțelor, o astfel de înlocuire este imposibilă. În conformitate cu aceasta, produsul vectorial este definit exact ca un vector, și nu ca un număr.