Andrew Wiles este profesor de matematică la Universitatea Princeton, el a demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat, cu care s-au luptat generații de oameni de știință de sute de ani.

30 de ani într-o singură sarcină

Wiles a aflat pentru prima dată despre ultima teoremă a lui Fermat când avea zece ani. S-a oprit la bibliotecă în drum spre casă de la școală și a fost captivat de citirea cărții „The Final Problem” de Eric Temple Bell. Poate fără să știe, din acel moment și-a dedicat viața căutării dovezilor, în ciuda faptului că era ceva care scăpase de trei secole celor mai bune minți de pe planetă.

Wiles a aflat despre ultima teoremă a lui Fermat când avea zece ani

A găsit-o 30 de ani mai târziu, după ce un alt om de știință, Ken Ribet, a demonstrat legătura dintre teorema matematicienilor japonezi Taniyama și Shimura cu Ultima Teoremă a lui Fermat. Spre deosebire de colegii săi sceptici, Wiles a înțeles imediat că asta era, iar șapte ani mai târziu a pus capăt probei.

Procesul de proba în sine s-a dovedit a fi foarte dramatic: Wiles și-a finalizat munca în 1993, dar chiar în timpul apariției sale publice a găsit o „lacună” semnificativă în raționamentul său. A fost nevoie de două luni pentru a găsi o eroare în calcule (eroarea a fost ascunsă printre 130 de pagini tipărite ale soluției ecuației). Apoi, timp de un an și jumătate, s-a lucrat intens pentru corectarea erorii. Întreaga comunitate științifică a Pământului era în pierdere. Wiles și-a finalizat lucrarea pe 19 septembrie 1994 și a prezentat-o imediat publicului.

Glorie înfricoșătoare

Cea mai mare frică a lui Andrew a fost faima și publicitatea. A refuzat să apară la televiziune foarte mult timp. Se crede că John Lynch a reușit să-l convingă. El l-a asigurat pe Wiles că ar putea inspira o nouă generație de matematicieni și ar putea arăta publicului puterea matematicii.

Andrew Wiles a refuzat multă vreme să apară la televizor

Puțin mai târziu, o societate recunoscătoare a început să-l răsplătească pe Andrew cu premii. Deci, pe 27 iunie 1997, Wiles a primit premiul Wolfskehl, care s-a ridicat la aproximativ 50.000 de dolari. Aceasta este mult mai puțin decât Wolfskehl a intenționat să plece cu un secol mai devreme, dar hiperinflația a dus la o reducere a sumei.

Din păcate, echivalentul matematic Premiul Nobel- Wiles pur și simplu nu a primit premiul Fields din cauza faptului că este acordat matematicienilor sub patruzeci de ani. În schimb, a primit o placă specială de argint la ceremonia medaliei Fields în onoarea importantei sale realizări. Wiles a câștigat, de asemenea, prestigiosul Premiu Wolf, Premiul Regele Faisal și multe alte premii internaționale.

Opiniile colegilor

Reacția unuia dintre cei mai faimoși matematicieni ruși moderni, academicianul V. I. Arnold, la demonstrație este „activ sceptic”:

Aceasta nu este matematică reală - matematica reală este geometrică și are legături puternice cu fizica. Mai mult decât atât, problema lui Fermat în sine, prin natura sa, nu poate genera dezvoltarea matematicii, întrucât este „binară”, adică formularea problemei necesită un răspuns doar la întrebarea „da sau nu”.

În același timp, munca matematică ultimii ani V. I. Arnold însuși a fost în mare măsură devotat variațiilor pe subiecte foarte asemănătoare de teorie a numerelor. Este posibil ca Wiles, în mod paradoxal, să fi devenit o cauză indirectă a acestei activități.

Un vis adevărat

Când Andrew este întrebat cum a reușit să stea în patru pereți timp de mai bine de 7 ani făcând o singură sarcină, Wiles spune cum a visat în timpul muncii sale căva veni vremea când cursurile de matematică din universități, și chiar din școli, vor fi adaptate la metoda lui de a demonstra teorema. El a dorit ca demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat să devină nu doar o problemă matematică model, ci și un model metodologic pentru predarea matematicii. Wiles și-a imaginat că folosind exemplul ei ar fi posibil să se studieze toate ramurile principale ale matematicii și fizicii.

4 doamne fără de care nu ar exista dovezi

Andrew este căsătorit și are trei fiice, dintre care două s-au născut „în timpul procesului de șapte ani al primului proiect al dovezii”.

Wiles însuși crede că fără familia sa nu ar fi reușit.

În acești ani, doar Nada, soția lui Andrew, știa că acesta năvălește singur pe cel mai inaccesibil și faimos vârf al matematicii. Lor, Nadyei, Claire, Kate și Olivia, le este dedicat celebrul articol final al lui Wiles „Curbe elliptice modulare și Ultima teoremă a lui Fermat” din revista centrală de matematică „Annals of Mathematics”, unde sunt publicate cele mai importante lucrări de matematică. Cu toate acestea, Wiles însuși nu neagă deloc că fără familia sa nu ar fi reușit.

Teorema lui Fermat i-a tachinat pe matematicieni de mai bine de trei secole, deși este simplă în aparență, iar Fermat însuși a insistat că știe să o demonstreze, dar a existat o singură problemă - nu era suficient spațiu pentru a o scrie. Omul de știință de la Princeton, Andrew Wiles, a reușit să demonstreze teorema blestemata în urmă cu aproximativ 10 ani. „Mansarda” amintește de povestea probabil celei mai faimoase dovezi din istoria matematicii.

Lui Wiles i-au luat ani de muncă și cunoașterea celor mai moderne ramuri ale matematicii. El a primit recent un premiu pentru această realizare, care se numește Premiul Nobel pentru matematicieni. Mai mult, formularea teoremei lui Fermat este extrem de simplă: ea afirmă că nu există astfel de valori întregi. x, yŞi z, pentru care egalitatea ar fi valabilă x n +y n =z n la n mai mare de 2. Această teoremă a fost formulată de matematicianul francez Pierre de Fermat în secolul al XVII-lea. Citind Aritmetica lui Diofant, el a notat ecuația în margini, în partea cărții care s-a ocupat de teorema lui Pitagora.

Note în margini

Teorema lui Pitagora este cunoscută de toți cei care nu au sărit peste matematică la școală cel puțin uneori: în triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Teorema a fost dovedită, după cum ați putea ghici, de către Pitagora, iar studenții săi au demonstrat deja că există un număr infinit de așa-numitele triplete pitagoreene - numere întregi pentru care condiția este îndeplinită. x 2 +y 2 =z 2. De exemplu, 3 2 +4 2 =5 2 sau 99 2 +4900 2 =4901 2.

Fermat se întrebă: dacă în loc de pătrate în formulă ar fi cuburi: x 3 +y 3 =z 3? Este posibil să găsiți triple frumoase de numere întregi pentru o asemenea egalitate? Ce se întâmplă dacă exponentul este 4? Dacă 5? Fermat a susținut că, dacă exponentul este mai mare de doi, atunci astfel de tripleți de numere întregi nu există. Pe lângă formularea teoremei, Fermat a lăsat o notă insidioasă: „Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestei propoziții, dar câmpurile de aici sunt prea înguste pentru a o conține.” Nu a spus nimănui care sunt aceste dovezi.

În viața obișnuită, Fermat a fost un oficial provincial important și s-a angajat în știință în timpul liber. La acea vreme, nu era foarte comun printre matematicieni să-și împărtășească rezultatele cu colegii. Fermat s-a remarcat prin reticența sa deosebită chiar și în rândul colegilor săi: și-a discutat ideile cu puțini oameni, iar când a reușit să găsească o soluție interesantă la o problemă matematică complexă, s-a amuzat trimițând colegilor săi matematicieni formulările acestor probleme, dar nu solutiile lor. De asemenea, nu s-a străduit să-și publice calculele matematice.

Oficialul și matematicianul francez Pierre de Fermat

Celebra teoremă nu a căzut în uitare împreună cu celelalte descoperiri ale lui Fermat doar pentru că fiul cel mare al excentricului om de știință amator, după moartea tatălui său, s-a angajat să publice toate notele sale fragmentare. Au scos la iveală multe teoreme interesante și importante pentru matematică - adesea fără dovezi sau doar cu schițe ale acestora. De atunci, toate au fost dovedite și doar ecuația, cunoscută acum sub numele de teorema lui Fermat, s-a încăpățânat să reziste.

Un mister pentru veacuri

Simplitatea formulării și observația lăsată de Fermat despre demonstrarea teoremei i-au tachinat de secole pe profesioniștii și amatorii de matematică. La urma urmei, Fermat avea aceleași cunoștințe ca și contemporanii săi, ceea ce înseamnă că pentru a demonstra teorema era nevoie doar de a face o mișcare neobișnuită.

În istoria încercărilor de a demonstra că triplele „necesare” ale numerelor întregi nu există, uneori au avut loc mici descoperiri. Astfel, la o sută de ani după Fermat, Leonhard Euler a reușit să demonstreze că teorema este adevărată pentru n=3. Alți matematicieni au demonstrat teorema pentru mai multe cazuri speciale sau au subliniat posibile abordări pentru rezolvarea problemei. În a doua jumătate a secolului XX, computerele au devenit disponibile, iar matematicienii au putut demonstra că teorema lui Fermat este adevărată pentru valori. n de la 2 la 500, apoi numărul a trecut în mii, apoi în milioane, dar toate acestea încă nu însemnau că afirmația lui Fermat era adevărată pentru orice valoare. n.

Munca vieții

Aceasta a fost situația când Andrew Wiles, în vârstă de zece ani, a aflat pentru prima dată despre teoremă. A devenit obsedat de ideea de a dovedi acest lucru, iar acest gând nu l-a părăsit pe om de știință de-a lungul întregii sale cariere matematice.

În a doua jumătate a anilor 1980, Wiles sa concentrat în întregime pe teorema lui Fermat. A continuat să predea la Universitatea Princeton, dar s-a retras de la conferințe și toate celelalte activități publice. Wiles nu a spus nimănui despre obiectivul său: în primul rând, nu a vrut să piardă timpul cu discuții, iar în al doilea rând, dacă va avea succes, faima i-ar ajunge singur. Și în al treilea rând, pur și simplu nu putea fi luat în serios - prea mulți excentrici și oameni nebuni încercaseră să demonstreze marea teoremă înaintea lui. Și-a dat seama că va avea nevoie de ani de muncă și s-a temut că, dacă vorbește despre munca lui, altcineva va face pasul în ultimul moment. Pentru a nu trezi suspiciuni, Wiles a folosit unul dintre studiile sale despre curbele eliptice. A fost finalizat, dar matematicianul l-a publicat pe bucăți, pretinzând că își continuă cercetările în acest domeniu. Wiles și-a încredințat doar soția secretului muncii sale reale, iar mulți dintre colegii savantului au început să creadă că „dispariția” sa se datorează faptului că bietul om și-a epuizat talentul matematic.

Andrew Wiles la monumentul lui Pierre de Fermat. Foto: Klaus Barner/Wikipedia

În 1988, în timp ce Wiles lucra din greu la demonstrarea sa, matematicianul japonez Yoichi Miyaoka a anunțat că a rupt teorema lui Fermat. Matematicienii din întreaga lume au început să studieze calculele lui Miyaoka și, din păcate pentru el, au fost descoperite lacune serioase în raționament, așa că Wiles și-a continuat munca.

Cu toate acestea, până în 1991, matematicianul încercase toate instrumentele disponibile, iar teorema lui Fermat încă nu a dat rezultate. Wiles a fost nevoit să-și întrerupă izolarea pentru a comunica cu colegii săi și pentru a afla dacă aveau idei noi care să-i fie utile pentru munca lui. Și astfel de idei au fost găsite - munca lui Wiles a demarat și el a prevăzut deja succesul, dar matematicianul trebuia să verifice toate calculele create. Wiles avea nevoie de un expert care să cunoască toate complexitățile metodelor pe care le folosea, dar asta însemna că această persoană ar trebui să fie la curent cu planul său. Și Wiles i-a spus colegul său de la Princeton, Nick Katz.

Expertul a trebuit să înțeleagă munca pe care Wiles o făcuse de câțiva ani. Abordarea unui astfel de volum de material nu a fost ușoară, iar Wiles și Katz au găsit o ieșire elegantă. Wiles a anunțat un curs de prelegeri pentru studenții absolvenți cu titlul destul de vag „Calculații pe curbe eliptice”. În prelegerile sale, Wiles a subliniat în detaliu partea dovezii de care nu era sigur și care avea nevoie de verificare. Numai Katz știa pentru ce au fost toate aceste calcule pentru toți ceilalți ascultători, era doar un curs de prelegeri, extrem de complex, foarte detaliat și nu foarte clar la ce se aplică; Treptat, publicul a fugit, iar în cele din urmă, doar Wiles și Katz înșiși au fost prezenți în public la prelegeri.

Teorema este dovedita...

Verificarea sa asigurat că nu există lacune în dovezile lui Wiles. În 1993, era încrezător că totul în munca lui era corect. Omul de știință a prezentat rezultatul muncii sale la un simpozion de matematică major la Cambridge, la sfârșitul lunii iunie 1993.

Vestea că teorema lui Fermat fusese dovedită a provocat mult zgomot. Mai mult, pentru a finaliza lucrarea, Wiles trebuia mai întâi să demonstreze așa-numita conjectura Taniyama-Shimura. Pentru matematicieni, ea nu este mai puțin și poate chiar mai importantă decât teorema lui Fermat în sine, deoarece ne permite să stabilim o legătură între ramuri ale matematicii care anterior păreau extrem de îndepărtate unele de altele. A existat o frenezie mediatică și Wiles a devenit o celebritate.

...sau tot nu?

El și-a trimis dovada unei reviste științifice pentru publicare, iar șase recenzori au început să-și examineze lucrarea de 200 de pagini. Una dintre probe a fost revizuită de Katzu. Wiles a rezolvat cu ușurință majoritatea întrebărilor recenzenților, dar Katz avea o mică întrebare la care autorul dovezii nu a putut răspunde imediat. Și cu cât a adâncit mai mult în explicație, cu atât a devenit mai evident că aceasta nu era o greșeală mică, ci o problemă gravă pe care Katz și Wiles o rataseră, chiar și în ciuda cursului de prelegeri pe care le organizaseră în partea cea mai „problematică” a dovada.

Wiles spera să „repare” demonstrația găsind o modalitate de a elimina eroarea, dar nu a reușit, iar printre matematicieni s-au răspândit zvonuri că de data aceasta demonstrația teoremei lui Fermat nu a rezistat criticilor. Desigur, Wiles făcuse deja multă muncă, ceea ce a dat multe rezultate importante, dar a vrut să demonstreze teorema lui Fermat, iar pentru el eroarea găsită a fost un coșmar.

Wiles s-a retras din nou din viziunea publicului și a lucrat doar cu unul dintre recenzorii lucrării sale (și fost student absolvent), Richard Taylor. Taylor a venit la Princeton special în acest scop. Toată vara anului 1994 au căutat o soluție la problemă și nu au găsit-o. Wiles era gata să accepte înfrângerea, dar Taylor l-a convins să continue căutarea până în octombrie, când Taylor a trebuit să plece.

Fără nicio speranță de a găsi o soluție, Wiles, cel puţin, a decis să înțeleagă de ce s-a strecurat o eroare în calculele lui. În dimineața zilei de 19 septembrie 1994, matematicianul stătea în biroul său, studiind metodele de demonstrare pe care le folosise, când deodată a avut o epifanie. Și-a dat seama ce trebuia să facă pentru ca dovada lui să funcționeze din nou. În cele din urmă, a reușit să trimită editorilor revistei un articol cu o dovadă a teoremei lui Fermat, precum și un articol comun cu Taylor, cu dovezile suplimentare necesare. Analele matematicii. Aceste lucrări au fost publicate în 1995. Teorema lui Fermat a fost demonstrată, acum fără nicio îndoială.

Mare glumă

Și totuși mai există un mister în această poveste. Timp de trei secole și jumătate, matematicienii s-au luptat cu teorema lui Fermat, iar demonstrarea acesteia a necesitat folosirea celor mai moderne metode și demonstrarea unei alte teoreme importante, formulată abia în secolul al XX-lea. Toate acestea pur și simplu nu existau pe vremea lui Fermat. Chiar a avut o „dovadă cu adevărat uimitoare” a teoremei sale? Există o suspiciune că nu, pentru că în notele lui Fermat există urme ale unei căutări de soluții când n=4 și n=5, ceea ce ar fi inutil dacă un matematician ar avea o demonstrație a teoremei în vedere generală. Dar chiar dacă matematicianul arogant și izolat a greșit, semnificația intrigii pe care a creat-o nu poate fi supraestimată. Sentimentul că „adevărul este undeva în apropiere” i-a inspirat pe mulți matematicieni să caute o soluție și cine știe care ar fi fost soarta teoremei dacă nu ar fi fost atât de populară.

5 august 2013

Nu există mulți oameni în lume care să nu fi auzit niciodată de Ultima Teoremă a lui Fermat - poate aceasta este singura problemă matematică care a devenit atât de cunoscută și a devenit o adevărată legendă. Este menționat în multe cărți și filme, iar contextul principal al aproape tuturor mențiunilor este imposibilitatea demonstrării teoremei.

Da, această teoremă este foarte cunoscută și, într-un fel, a devenit un „idol” adorat de matematicienii amatori și profesioniști, dar puțini oameni știu că dovada ei a fost găsită, iar acest lucru s-a întâmplat în 1995. Dar mai întâi lucrurile.

Deci, Ultima Teoremă a lui Fermat (numită adesea ultima teoremă a lui Fermat), formulată în 1637 de genialul matematician francez Pierre Fermat, este foarte simplă în esență și de înțeles pentru oricine are studii medii. Se spune că formula a la puterea lui n + b la puterea lui n = c la puterea lui n nu are soluții naturale (adică nu fracționale) pentru n > 2. Totul pare simplu și clar, dar cei mai buni matematicieni și amatori obișnuiți s-au luptat cu căutarea unei soluții timp de mai bine de trei secole și jumătate.

De ce este atât de faimoasă? Acum vom afla...

Există multe teoreme dovedite, nedovedite și încă nedovedite? Ideea aici este că Ultima Teoremă a lui Fermat reprezintă cel mai mare contrast între simplitatea formulării și complexitatea demonstrației. Ultima teoremă a lui Fermat este o sarcină incredibil de dificilă și totuși formularea ei poate fi înțeleasă de oricine cu clasa a V-a de liceu, dar nici măcar orice matematician profesionist nu poate înțelege dovada. Nici în fizică, nici în chimie, nici în biologie, nici în matematică, nu există o singură problemă care să poată fi formulată atât de simplu, dar să rămână nerezolvată atât de mult timp. 2. În ce constă?

Să începem cu pantalonii pitagoreici Formularea este foarte simplă - la prima vedere. După cum știm din copilărie, „pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile”. Problema pare atât de simplă pentru că se baza pe o afirmație matematică pe care toată lumea o cunoaște - teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete.

În secolul al V-lea î.Hr. Pitagora a fondat frăția lui Pitagora. Pitagorei, printre altele, au studiat triplete întregi care satisfac egalitatea x²+y²=z². Ei au demonstrat că există infinit de multe triple pitagorice și au obținut formule generale pentru găsirea lor. Probabil că au încercat să caute C și grade superioare. Convinși că acest lucru nu a funcționat, pitagoreicii și-au abandonat încercările inutile. Membrii frăției erau mai mult filozofi și esteți decât matematicieni.

Adică, este ușor să selectați un set de numere care să satisfacă perfect egalitatea x²+y²=z²

Pornind de la 3, 4, 5 - într-adevăr, un elev junior înțelege că 9 + 16 = 25.

Sau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Grozav.

Deci, se dovedește că NU sunt. Aici începe trucul. Simplitatea este aparentă, deoarece este dificil să dovedești nu prezența a ceva, ci, dimpotrivă, absența lui. Când trebuie să dovediți că există o soluție, puteți și trebuie să prezentați pur și simplu această soluție.

Demonstrarea absenței este mai dificilă: de exemplu, cineva spune: o astfel de ecuație nu are soluții. Să-l pui într-o băltoacă? usor: bam - si iata, solutia! (dai solutie). Și gata, adversarul este învins. Cum să dovedesc absența?

Spune: „Nu am găsit astfel de soluții”? Sau poate nu arătai bine? Ce se întâmplă dacă există, dar sunt foarte mari, foarte mari, astfel încât chiar și un computer super-puternic nu are încă suficientă putere? Acesta este ceea ce este dificil.

Acest lucru poate fi arătat vizual astfel: dacă luați două pătrate de dimensiuni adecvate și le dezasamblați în pătrate unitare, atunci din acest grup de pătrate unitare obțineți un al treilea pătrat (Fig. 2):

Dar să facem același lucru cu a treia dimensiune (Fig. 3) - nu funcționează. Nu sunt suficiente cuburi sau au mai rămas altele:

Dar matematicianul francez Pierre de Fermat din secolul al XVII-lea a studiat cu entuziasm ecuația generală x n + y n = z n. Și în final, am concluzionat: pentru n>2 nu există soluții întregi. Dovada lui Fermat este iremediabil pierdută. Manuscrisele ard! Tot ce rămâne este remarca lui în Aritmetica lui Diofantus: „Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestei propoziții, dar marginile de aici sunt prea înguste pentru a o conține”.

De fapt, o teoremă fără demonstrație se numește ipoteză. Dar Fermat are reputația că nu greșește niciodată. Chiar dacă nu a lăsat dovezi ale unei declarații, aceasta a fost ulterior confirmată. Mai mult, Fermat și-a dovedit teza pentru n=4. Astfel, ipoteza matematicianului francez a intrat în istorie ca Ultima Teoremă a lui Fermat.

După Fermat, minți atât de mari precum Leonhard Euler au lucrat la căutarea unei dovezi (în 1770 a propus o soluție pentru n = 3),

Adrien Legendre și Johann Dirichlet (acești oameni de știință au găsit împreună dovada pentru n = 5 în 1825), Gabriel Lamé (care a găsit demonstrația pentru n = 7) și mulți alții. La mijlocul anilor '80 ai secolului trecut, a devenit clar că lumea științifică era pe drumul către soluția finală a ultimei teoreme a lui Fermat, dar abia în 1993 matematicienii au văzut și au crezut că epopeea de trei secole a căutării unei dovezi a Ultima teoremă a lui Fermat era practic terminată.

Este ușor de arătat că este suficient să demonstrați teorema lui Fermat doar pentru n simplu: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pentru compusul n, demonstrația rămâne valabilă. Dar există o infinitate de numere prime...

În 1825, folosind metoda lui Sophie Germain, femeile matematiciene, Dirichlet și Legendre au demonstrat independent teorema pentru n=5. În 1839, folosind aceeași metodă, francezul Gabriel Lame a arătat adevărul teoremei pentru n=7. Treptat, teorema a fost demonstrată pentru aproape toți n mai puțin de o sută.

În cele din urmă, matematicianul german Ernst Kummer, într-un studiu strălucit, a arătat că teorema în general nu poate fi dovedită folosind metodele matematicii din secolul al XIX-lea. Premiul Academiei Franceze de Științe, înființat în 1847 pentru demonstrarea teoremei lui Fermat, a rămas neacordat.

În 1907, industriașul german bogat Paul Wolfskehl a decis să-și ia viața din cauza iubirii neîmpărtășite. Ca un adevărat german, a stabilit data și ora sinuciderii: exact la miezul nopții. În ultima zi a făcut testament și a scris scrisori către prieteni și rude. Lucrurile s-au încheiat înainte de miezul nopții. Trebuie spus că Paul era interesat de matematică. Neavând altceva de făcut, s-a dus la bibliotecă și a început să citească faimosul articol al lui Kummer. Deodată i se păru că Kummer făcuse o greșeală în raționamentul său. Wolfskel a început să analizeze această parte a articolului cu un creion în mâini. Miezul nopții a trecut, a venit dimineața. Golul din dovadă a fost umplut. Și chiar motivul sinuciderii arăta acum complet ridicol. Paul și-a rupt scrisorile de adio și și-a rescris testamentul.

El a murit curând din cauze naturale. Moștenitorii au fost destul de surprinși: 100.000 de mărci (mai mult de 1.000.000 de lire sterline actuale) au fost transferate în contul Societății Regale Științifice din Göttingen, care în același an a anunțat un concurs pentru Premiul Wolfskehl. 100.000 de puncte au fost acordate persoanei care a demonstrat teorema lui Fermat. Nici un pfennig nu a fost acordat pentru infirmarea teoremei...

Majoritatea matematicienilor profesioniști au considerat căutarea unei dovezi a ultimei teoreme a lui Fermat o sarcină fără speranță și au refuzat cu hotărâre să piardă timpul cu un exercițiu atât de inutil. Dar amatorii s-au distrat de minune. La câteva săptămâni după anunț, o avalanșă de „dovezi” a lovit Universitatea din Göttingen. Profesorul E.M. Landau, a cărui responsabilitate era să analizeze probele trimise, a împărțit cartonașe elevilor săi:

dragă. . . . . . . .

Vă mulțumesc că mi-ați trimis manuscrisul cu dovada ultimei teoreme a lui Fermat. Prima eroare este pe pagina... la linie... . Din această cauză, întreaga dovadă își pierde valabilitatea.
Profesorul E. M. Landau

În anii 1980, Samuel Wagstaff a ridicat limita la 25.000, iar în anii 1990, matematicienii au declarat că Ultima Teoremă a lui Fermat era adevărată pentru toate valorile de la n până la 4 milioane. Dar dacă scădeți chiar și un trilion de trilion din infinit, acesta nu va deveni mai mic. Matematicienii nu sunt convinși de statistici. A demonstra Marea Teoremă însemna a o demonstra pentru TOATE n mergând la infinit.

Cu toate acestea, după o testare atentă, prietenii au înaintat o ipoteză: fiecare ecuație eliptică are un geamăn - o formă modulară și invers. Această ipoteză a devenit fundamentul unei întregi direcții în matematică, dar până când ipoteza Taniyama-Shimura a fost dovedită, întreaga clădire s-ar putea prăbuși în orice moment.

În 1984, Gerhard Frey a arătat că o soluție a ecuației lui Fermat, dacă există, poate fi inclusă într-o ecuație eliptică. Doi ani mai târziu, profesorul Ken Ribet a dovedit că această ecuație ipotetică nu poate avea o contrapartidă în lumea modulară. De acum înainte, Ultima Teoremă a lui Fermat a fost indisolubil legată de conjectura Taniyama-Shimura. După ce am demonstrat că orice curbă eliptică este modulară, concluzionăm că nu există o ecuație eliptică cu o soluție a ecuației lui Fermat, iar Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi imediat demonstrată. Dar timp de treizeci de ani nu a fost posibil să se dovedească ipoteza Taniyama-Shimura și au existat din ce în ce mai puține speranțe de succes.

În 1963, când avea doar zece ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. Când a aflat despre Marea Teoremă, și-a dat seama că nu poate renunța la ea. Ca școlar, student și student absolvent, el s-a pregătit pentru această sarcină.

După ce a aflat despre descoperirile lui Ken Ribet, Wiles s-a aruncat cu capul năprasnic în demonstrarea ipotezei Taniyama-Shimura. A decis să lucreze în deplină izolare și secret. „Mi-am dat seama că tot ceea ce are de-a face cu Ultima Teoremă a lui Fermat trezește prea mult interes... Prea mulți spectatori interferează evident cu atingerea obiectivului.” Șapte ani de muncă grea au dat roade, Wiles a finalizat în sfârșit dovada conjecturii Taniyama-Shimura.

În 1993, matematicianul englez Andrew Wiles a prezentat lumii dovada ultimei teoreme a lui Fermat (Wiles și-a citit lucrarea senzațională la o conferință la Institutul Sir Isaac Newton din Cambridge.), lucru în care a durat mai bine de șapte ani.

S-a dovedit că această decizie conține o eroare gravă, deși în general este corectă. Wiles nu a renunțat, a apelat la ajutorul celebrului specialist în teoria numerelor Richard Taylor și deja în 1994 au publicat o demonstrație corectată și extinsă a teoremei. Cel mai uimitor lucru este că această lucrare a ocupat până la 130 (!) de pagini în jurnalul de matematică Annals of Mathematics. Dar povestea nu s-a încheiat nici aici - punctul final a fost atins abia în anul următor, 1995, când a fost publicată versiunea finală și „ideală”, din punct de vedere matematic, a dovezii.

„...la jumătate de minut după începerea cinei festive cu ocazia zilei ei de naștere, i-am oferit Nadyei manuscrisul dovezii complete” (Andrew Wales). Nu am spus încă că matematicienii sunt oameni ciudați?

De data aceasta nu a existat nicio îndoială cu privire la dovezi. Două articole au fost supuse celei mai atente analize și au fost publicate în mai 1995 în Annals of Mathematics.

A trecut mult timp de la acel moment, dar există încă opinia în societate că Ultima Teoremă a lui Fermat este de nerezolvat. Dar chiar și cei care știu despre dovezile găsite continuă să lucreze în această direcție - puțini sunt mulțumiți că Marea Teoremă necesită o soluție de 130 de pagini!

Prin urmare, acum eforturile multor matematicieni (majoritatea amatori, nu oameni de știință profesioniști) sunt aruncate în căutarea unei dovezi simple și concise, dar această cale, cel mai probabil, nu va duce nicăieri...

sursă

Deci, Ultima Teoremă a lui Fermat (numită adesea ultima teoremă a lui Fermat), formulată în 1637 de genialul matematician francez Pierre Fermat, este de natură foarte simplă și de înțeles pentru oricine cu studii medii. Se spune că formula a la puterea lui n + b la puterea lui n = c la puterea lui n nu are soluții naturale (adică nu fracționale) pentru n > 2. Totul pare simplu și clar, dar cei mai buni matematicieni și amatori obișnuiți s-au luptat cu căutarea unei soluții timp de mai bine de trei secole și jumătate.

De ce este atât de faimoasă? Acum vom afla...

Există multe teoreme dovedite, nedovedite și încă nedovedite? Ideea aici este că Ultima Teoremă a lui Fermat reprezintă cel mai mare contrast între simplitatea formulării și complexitatea demonstrației. Ultima Teoremă a lui Fermat este o problemă incredibil de dificilă și totuși formularea ei poate fi înțeleasă de oricine cu clasa a V-a de liceu, dar nici măcar orice matematician profesionist nu poate înțelege dovada. Nici în fizică, nici în chimie, nici în biologie, nici în matematică, nu există o singură problemă care să poată fi formulată atât de simplu, dar să rămână nerezolvată atât de mult timp. 2. În ce constă?

Să începem cu pantalonii pitagoreici Formularea este foarte simplă - la prima vedere. După cum știm din copilărie, „pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile”. Problema pare atât de simplă pentru că se baza pe o afirmație matematică pe care toată lumea o cunoaște - teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete.

În secolul al V-lea î.Hr. Pitagora a fondat frăția lui Pitagora. Pitagorei, printre altele, au studiat triplete întregi care satisfac egalitatea x²+y²=z². Ei au demonstrat că există infinit de multe triple pitagorice și au obținut formule generale pentru găsirea lor. Probabil că au încercat să caute C și grade superioare. Convinși că acest lucru nu a funcționat, pitagoreicii și-au abandonat încercările inutile. Membrii frăției erau mai mult filozofi și esteți decât matematicieni.

Adică, este ușor să selectați un set de numere care să satisfacă perfect egalitatea x²+y²=z²

Pornind de la 3, 4, 5 - într-adevăr, un elev junior înțelege că 9 + 16 = 25.

Sau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Grozav.

Și așa mai departe. Ce se întâmplă dacă luăm o ecuație similară x³+y³=z³? Poate există și astfel de numere?

Și așa mai departe (Fig. 1).

Deci, se dovedește că NU sunt. Aici începe trucul. Simplitatea este aparentă, deoarece este dificil să dovedești nu prezența a ceva, ci, dimpotrivă, absența lui. Când trebuie să dovediți că există o soluție, puteți și trebuie să prezentați pur și simplu această soluție.

Demonstrarea absenței este mai dificilă: de exemplu, cineva spune: o astfel de ecuație nu are soluții. Să-l pui într-o băltoacă? usor: bam - si iata, solutia! (dai solutie). Și gata, adversarul este învins. Cum să dovedesc absența?

Spune: „Nu am găsit astfel de soluții”? Sau poate nu arătai bine? Ce se întâmplă dacă există, dar sunt foarte mari, foarte mari, astfel încât chiar și un computer super-puternic nu are încă suficientă putere? Acesta este ceea ce este dificil.

Acest lucru poate fi arătat vizual astfel: dacă luați două pătrate de dimensiuni adecvate și le dezasamblați în pătrate unitare, atunci din acest grup de pătrate unitare obțineți un al treilea pătrat (Fig. 2):

Dar să facem același lucru cu a treia dimensiune (Fig. 3) - nu funcționează. Nu sunt suficiente cuburi sau au mai rămas altele:

Dar matematicianul francez din secolul al XVII-lea Pierre de Fermat a studiat cu entuziasm ecuația generală x n +y n =z n . Și în final, am concluzionat: pentru n>2 nu există soluții întregi. Dovada lui Fermat este iremediabil pierdută. Manuscrisele ard! Tot ce rămâne este remarca lui în Aritmetica lui Diofantus: „Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestei propoziții, dar marginile de aici sunt prea înguste pentru a o conține”.

De fapt, o teoremă fără demonstrație se numește ipoteză. Dar Fermat are reputația că nu greșește niciodată. Chiar dacă nu a lăsat dovezi ale unei declarații, aceasta a fost ulterior confirmată. Mai mult, Fermat și-a dovedit teza pentru n=4. Astfel, ipoteza matematicianului francez a intrat în istorie ca Ultima Teoremă a lui Fermat.

După Fermat, minți atât de mari precum Leonhard Euler au lucrat la căutarea unei dovezi (în 1770 a propus o soluție pentru n = 3),

Adrien Legendre și Johann Dirichlet (acești oameni de știință au găsit împreună dovada pentru n = 5 în 1825), Gabriel Lamé (care a găsit demonstrația pentru n = 7) și mulți alții. Pe la mijlocul anilor '80 ai secolului trecut, a devenit clar că lumea științifică era pe drumul către soluția finală a ultimei teoreme a lui Fermat, dar abia în 1993 matematicienii au văzut și au crezut că epopeea de trei secole a căutării unei dovezi. a ultimei teoreme a lui Fermat era practic încheiată.

Este ușor de arătat că este suficient să demonstrați teorema lui Fermat doar pentru n simplu: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pentru compusul n, demonstrația rămâne valabilă. Dar există o infinitate de numere prime...

În 1825, folosind metoda lui Sophie Germain, femeile matematiciene, Dirichlet și Legendre au demonstrat independent teorema pentru n=5. În 1839, folosind aceeași metodă, francezul Gabriel Lame a arătat adevărul teoremei pentru n=7. Treptat, teorema a fost demonstrată pentru aproape toți n mai puțin de o sută.

În cele din urmă, matematicianul german Ernst Kummer, într-un studiu strălucit, a arătat că teorema în general nu poate fi dovedită folosind metodele matematicii din secolul al XIX-lea. Premiul Academiei Franceze de Științe, înființat în 1847 pentru demonstrarea teoremei lui Fermat, a rămas neacordat.

În 1907, industriașul german bogat Paul Wolfskehl a decis să-și ia viața din cauza iubirii neîmpărtășite. Ca un adevărat german, a stabilit data și ora sinuciderii: exact la miezul nopții. În ultima zi a făcut testament și a scris scrisori către prieteni și rude. Lucrurile s-au încheiat înainte de miezul nopții. Trebuie spus că Paul era interesat de matematică. Neavând altceva de făcut, s-a dus la bibliotecă și a început să citească faimosul articol al lui Kummer. Deodată i se păru că Kummer făcuse o greșeală în raționamentul său. Wolfskel a început să analizeze această parte a articolului cu un creion în mâini. Miezul nopții a trecut, a venit dimineața. Golul din dovadă a fost umplut. Și chiar motivul sinuciderii arăta acum complet ridicol. Paul și-a rupt scrisorile de adio și și-a rescris testamentul.

El a murit curând din cauze naturale. Moștenitorii au fost destul de surprinși: 100.000 de mărci (mai mult de 1.000.000 de lire sterline actuale) au fost transferate în contul Societății Regale Științifice din Göttingen, care în același an a anunțat un concurs pentru Premiul Wolfskehl. 100.000 de puncte au fost acordate persoanei care a demonstrat teorema lui Fermat. Nici un pfennig nu a fost acordat pentru infirmarea teoremei...

Majoritatea matematicienilor profesioniști au considerat căutarea unei dovezi a ultimei teoreme a lui Fermat o sarcină fără speranță și au refuzat cu hotărâre să piardă timpul cu un exercițiu atât de inutil. Dar amatorii s-au distrat de minune. La câteva săptămâni după anunț, o avalanșă de „dovezi” a lovit Universitatea din Göttingen. Profesorul E.M. Landau, a cărui responsabilitate era să analizeze probele trimise, a împărțit cartonașe elevilor săi:

dragă. . . . . . . .

Vă mulțumesc că mi-ați trimis manuscrisul cu dovada ultimei teoreme a lui Fermat. Prima eroare este pe pagina... la linie... . Din această cauză, întreaga dovadă își pierde valabilitatea.
Profesorul E. M. Landau

În 1963, Paul Cohen, bazându-se pe descoperirile lui Gödel, a dovedit imposibilitatea uneia dintre cele douăzeci și trei de probleme ale lui Hilbert - ipoteza continuumului. Dacă și Ultima Teoremă a lui Fermat este indecidabilă?! Dar adevărații fanatici ai Marii Teoreme nu au fost deloc dezamăgiți. Apariția computerelor le-a oferit brusc matematicienilor o nouă metodă de demonstrare. După al Doilea Război Mondial, echipe de programatori și matematicieni au demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat pentru toate valorile de la n până la 500, apoi până la 1.000 și mai târziu până la 10.000.

În anii 1980, Samuel Wagstaff a ridicat limita la 25.000, iar în anii 1990, matematicienii au declarat că Ultima Teoremă a lui Fermat era adevărată pentru toate valorile de la n până la 4 milioane. Dar dacă scădeți chiar și un trilion de trilion din infinit, acesta nu va deveni mai mic. Matematicienii nu sunt convinși de statistici. A demonstra Marea Teoremă însemna a o demonstra pentru TOATE n mergând la infinit.

În 1954, doi tineri prieteni matematicieni japonezi au început să cerceteze formele modulare. Aceste forme generează serii de numere, fiecare cu propria sa serie. Din întâmplare, Taniyama a comparat aceste serii cu serii generate de ecuații eliptice. S-au potrivit! Dar formele modulare sunt obiecte geometrice, iar ecuațiile eliptice sunt algebrice. Nicio legătură nu a fost găsită între obiecte atât de diferite.

Cu toate acestea, după o testare atentă, prietenii au prezentat o ipoteză: fiecare ecuație eliptică are un geamăn - o formă modulară și invers. Această ipoteză a devenit fundamentul unei întregi direcții în matematică, dar până când ipoteza Taniyama-Shimura a fost dovedită, întreaga clădire s-ar putea prăbuși în orice moment.

În 1984, Gerhard Frey a arătat că o soluție a ecuației lui Fermat, dacă există, poate fi inclusă într-o ecuație eliptică. Doi ani mai târziu, profesorul Ken Ribet a dovedit că această ecuație ipotetică nu poate avea o contrapartidă în lumea modulară. De acum înainte, Ultima Teoremă a lui Fermat a fost indisolubil legată de conjectura Taniyama-Shimura. După ce am demonstrat că orice curbă eliptică este modulară, concluzionăm că nu există o ecuație eliptică cu o soluție a ecuației lui Fermat, iar Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi imediat demonstrată. Dar timp de treizeci de ani nu a fost posibil să se dovedească ipoteza Taniyama-Shimura și au existat din ce în ce mai puține speranțe de succes.

În 1963, când avea doar zece ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. Când a aflat despre Marea Teoremă, și-a dat seama că nu poate renunța la ea. Ca școlar, student și student absolvent, el s-a pregătit pentru această sarcină.

După ce a aflat despre descoperirile lui Ken Ribet, Wiles s-a aruncat cu capul năprasnic să dovedească conjectura Taniyama-Shimura. A decis să lucreze în deplină izolare și secret. „Mi-am dat seama că tot ceea ce are de-a face cu Ultima Teoremă a lui Fermat trezește prea mult interes... Prea mulți spectatori interferează evident cu atingerea obiectivului.” Șapte ani de muncă asiduă au dat roade;

În 1993, matematicianul englez Andrew Wiles a prezentat lumii dovada ultimei teoreme a lui Fermat (Wiles și-a citit lucrarea senzațională la o conferință la Institutul Sir Isaac Newton din Cambridge.), lucru în care a durat mai bine de șapte ani.

În timp ce hype-ul a continuat în presă, au început lucrări serioase pentru verificarea dovezilor. Fiecare probă trebuie examinată cu atenție înainte ca dovezile să poată fi considerate riguroase și exacte. Wiles a petrecut o vară agitată așteptând feedback de la recenzenți, sperând că va reuși să câștige aprobarea lor. La sfârșitul lunii august, experții au constatat că hotărârea este insuficient fundamentată.

S-a dovedit că această decizie conține o eroare gravă, deși în general este corectă. Wiles nu a renunțat, a apelat la ajutorul unui specialist celebru în teoria numerelor, Richard Taylor, și deja în 1994 au publicat o demonstrație corectată și extinsă a teoremei. Cel mai uimitor lucru este că această lucrare a ocupat până la 130 (!) de pagini în jurnalul de matematică Annals of Mathematics. Dar povestea nu s-a încheiat nici aici - punctul final a fost atins abia în anul următor, 1995, când a fost publicată versiunea finală și „ideală”, din punct de vedere matematic, a dovezii.

„...la jumătate de minut după începerea cinei festive cu ocazia zilei ei de naștere, i-am oferit Nadyei manuscrisul dovezii complete” (Andrew Wales). Nu am spus încă că matematicienii sunt oameni ciudați?

De data aceasta nu a existat nicio îndoială cu privire la dovezi. Două articole au fost supuse celei mai atente analize și au fost publicate în mai 1995 în Annals of Mathematics.

A trecut mult timp de la acel moment, dar există încă opinia în societate că Ultima Teoremă a lui Fermat este de nerezolvat. Dar chiar și cei care știu despre dovezile găsite continuă să lucreze în această direcție - puțini sunt mulțumiți că Marea Teoremă necesită o soluție de 130 de pagini!

Prin urmare, acum eforturile multor matematicieni (majoritatea amatori, nu oameni de știință profesioniști) sunt aruncate în căutarea unei dovezi simple și concise, dar această cale, cel mai probabil, nu va duce nicăieri...

Judecând după popularitatea interogării „Teorema lui Fermat - dovada scurta" această problemă matematică interesează cu adevărat multă lume. Această teoremă a fost formulată pentru prima dată de Pierre de Fermat în 1637 pe marginea unei copii de Aritmetică, unde a susținut că are o soluție prea mare pentru a se potrivi pe margine.

Prima dovadă de succes a fost publicată în 1995, o demonstrație completă a teoremei lui Fermat de către Andrew Wiles. A fost descris drept „progres uimitor” și l-a determinat pe Wiles să primească Premiul Abel în 2016. Deși este descrisă relativ pe scurt, demonstrația teoremei lui Fermat a dovedit, de asemenea, o mare parte a teoremei de modularitate și a deschis noi abordări pentru numeroase alte probleme și metode eficiente de creștere a modularității. Aceste realizări au avansat matematica cu 100 de ani. Dovada micii teoreme a lui Fermat nu este ceva ieșit din comun astăzi.

Problema nerezolvată a stimulat dezvoltarea teoriei numerelor algebrice în secolul al XIX-lea și căutarea unei dovezi a teoremei de modularitate în secolul al XX-lea. Este una dintre cele mai notabile teoreme din istoria matematicii și, înainte de demonstrarea completă a ultimei teoreme a lui Fermat prin diviziune, a fost în Cartea Recordurilor Guinness ca „cea mai grea problemă matematică”, una dintre caracteristicile căreia este că are cel mai mare număr de dovezi ratate.

Context istoric

Ecuația lui Pitagora x 2 + y 2 = z 2 are un număr infinit de soluții întregi pozitive pentru x, y și z. Aceste soluții sunt cunoscute sub numele de trinități pitagoreice. În jurul anului 1637, Fermat a scris pe marginea unei cărți că ecuația mai generală a n + b n = c n nu avea soluții în numere naturale dacă n era un număr întreg mai mare decât 2. Deși Fermat însuși pretindea că are o soluție la problema lui, el a făcut să nu lase detalii despre dovada ei. Dovada elementară a teoremei lui Fermat, afirmată de creatorul ei, a fost mai degrabă invenția lui lăudărosă. Cartea marelui matematician francez a fost descoperită la 30 de ani după moartea sa. Această ecuație, numită Ultima Teoremă a lui Fermat, a rămas nerezolvată în matematică timp de trei secole și jumătate.

Teorema a devenit în cele din urmă una dintre cele mai notabile probleme nerezolvate din matematică. Încercările de a demonstra acest lucru au declanșat dezvoltări semnificative în teoria numerelor și, de-a lungul timpului, Ultima Teoremă a lui Fermat a devenit cunoscută ca o problemă nerezolvată în matematică.

Scurt istoric al dovezilor

Dacă n = 4, așa cum a demonstrat însuși Fermat, este suficient să se demonstreze teorema pentru indicii n, care sunt numere prime. În următoarele două secole (1637-1839) conjectura a fost dovedită doar pentru numerele prime 3, 5 și 7, deși Sophie Germain a actualizat și a demonstrat o abordare care se aplica întregii clase de numere prime. La mijlocul secolului al XIX-lea, Ernst Kummer a extins acest lucru și a demonstrat teorema pentru toate numerele prime regulate, făcând ca numerele prime neregulate să fie analizate individual. Bazându-se pe munca lui Kummer și folosind cercetări computerizate sofisticate, alți matematicieni au reușit să extindă soluția teoremei, urmărind să acopere toți exponenții majori până la patru milioane, dar dovezile pentru toți exponenții erau încă indisponibile (însemnând că matematicienii au luat în considerare soluția în general). la teorema imposibil, extrem de dificil sau de neatins cu cunoștințe moderne).

Lucrări de Shimura și Taniyama

În 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au bănuit că există o legătură între curbele eliptice și forme modulare, două domenii complet diferite ale matematicii. Cunoscută la acea vreme sub numele de conjectura Taniyama-Shimura-Weil și (în cele din urmă) ca teorema de modularitate, a stat de la sine, fără nicio legătură aparentă cu ultima teoremă a lui Fermat. A fost considerată pe scară largă ca o teoremă matematică importantă în sine, dar a fost considerată (ca și teorema lui Fermat) imposibil de demonstrat. În același timp, demonstrarea marii teoreme a lui Fermat (prin metoda împărțirii și utilizarea formulelor matematice complexe) a fost realizată doar o jumătate de secol mai târziu.

În 1984, Gerhard Frey a observat o legătură evidentă între aceste două probleme neînrudite anterior și nerezolvate. Dovada completă că cele două teoreme au fost strâns legate a fost publicată în 1986 de Ken Ribet, care a construit pe o demonstrație parțială a lui Jean-Pierre Serres, care a demonstrat toate părțile, cu excepția uneia, cunoscută sub numele de „conjectura epsilon”. Mai simplu spus, aceste lucrări ale lui Frey, Serres și Ribe au arătat că, dacă teorema de modularitate ar putea fi demonstrată pentru cel puțin o clasă semistabilă de curbe eliptice, atunci și demonstrația ultimei teoreme a lui Fermat ar fi descoperită mai devreme sau mai târziu. Orice soluție care poate contrazice ultima teoremă a lui Fermat poate fi folosită și pentru a contrazice teorema modularității. Prin urmare, dacă teorema de modularitate s-a dovedit a fi adevărată, atunci prin definiție nu poate exista o soluție care să contrazică ultima teoremă a lui Fermat, ceea ce înseamnă că ar fi trebuit să fie demonstrată în curând.

Deși ambele teoreme erau probleme dificile de matematică, considerate de nerezolvat, munca celor doi japonezi a fost prima sugestie a modului în care ultima teoremă a lui Fermat putea fi extinsă și demonstrată pentru toate numerele, nu doar pentru unele. Important pentru cercetătorii care au ales tema de cercetare a fost faptul că, spre deosebire de ultima teoremă a lui Fermat, teorema de modularitate a fost un domeniu activ major de cercetare pentru care s-a dezvoltat o demonstrație, și nu doar o ciudățenie istorică, deci timpul petrecut. lucrul la acesta ar putea fi justificat din punct de vedere profesional. Cu toate acestea, consensul general a fost că rezolvarea conjecturei Taniyama-Shimura nu era practică.

Ultima teoremă a lui Fermat: demonstrația lui Wiles

După ce a aflat că Ribet a dovedit că teoria lui Frey este corectă, matematicianul englez Andrew Wiles, care era interesat de ultima teoremă a lui Fermat încă din copilărie și avea experiență de lucru cu curbe eliptice și câmpuri înrudite, a decis să încerce să demonstreze conjectura Taniyama-Shimura ca o modalitate de a demonstrează ultima teoremă a lui Fermat. În 1993, la șase ani după ce și-a anunțat obiectivul, în timp ce lucra în secret la problema rezolvării teoremei, Wiles a reușit să demonstreze o presupunere înrudită, care la rândul său l-ar ajuta să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat. Documentul lui Wiles era enorm în dimensiune și întindere.

Defectul a fost descoperit într-o parte a lucrării sale originale în timpul evaluării de către colegi și a necesitat încă un an de colaborare cu Richard Taylor pentru a rezolva împreună teorema. Drept urmare, dovada finală a lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat nu a întârziat să apară. În 1995, a fost publicat la o scară mult mai mică decât lucrarea matematică anterioară a lui Wiles, arătând în mod clar că el nu s-a înșelat în concluziile sale anterioare cu privire la posibilitatea de a demonstra teorema. Realizarea lui Wiles a fost raportată pe scară largă în presa populară și popularizată în cărți și programe de televiziune. Părțile rămase ale conjecturii Taniyama-Shimura-Weil, care au fost acum dovedite și sunt cunoscute ca teorema modularității, au fost ulterior dovedite de alți matematicieni care au construit pe munca lui Wiles între 1996 și 2001. Pentru realizarea sa, Wiles a fost onorat și a primit numeroase premii, inclusiv Premiul Abel 2016.

Dovada lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat este un caz special de soluție a teoremei de modularitate pentru curbele eliptice. Cu toate acestea, acesta este cel mai faimos caz al unei operații matematice la scară atât de mare. Odată cu rezolvarea teoremei lui Ribet, matematicianul britanic a obținut și o demonstrație a ultimei teoreme a lui Fermat. Ultima teoremă a lui Fermat și teorema modularității au fost considerate aproape universal de nedemonstrat de către matematicienii moderni, dar Andrew Wiles a reușit să demonstreze întregii lumi științifice că până și expertii se pot înșela.

Wiles a anunțat pentru prima dată descoperirea sa miercuri, 23 iunie 1993, într-o prelegere la Cambridge intitulată „Forme modulare, curbe eliptice și reprezentări Galois”. Cu toate acestea, în septembrie 1993 s-a stabilit că calculele sale conțineau o eroare. Un an mai târziu, pe 19 septembrie 1994, în ceea ce el ar numi „cel mai important moment al vieții sale profesionale”, Wiles a dat peste o revelație care i-a permis să corecteze soluția problemei până la punctul în care ar putea satisface criteriile matematice. comunitate.

Caracteristicile muncii

Dovada lui Andrew Wiles a teoremei lui Fermat folosește multe tehnici din geometria algebrică și teoria numerelor și are multe ramificații în aceste domenii ale matematicii. El folosește, de asemenea, constructe standard ale geometriei algebrice moderne, cum ar fi categoria schemelor și teoria Iwasawa, precum și alte metode din secolul al XX-lea care nu erau disponibile lui Pierre Fermat.

Cele două articole care conțin dovezile însumează 129 de pagini și au fost scrise pe parcursul a șapte ani. John Coates a descris această descoperire drept una dintre cele mai mari realizări ale teoriei numerelor, iar John Conway a numit-o principala realizare matematică a secolului al XX-lea. Wiles, pentru a demonstra ultima teoremă a lui Fermat prin demonstrarea teoremei de modularitate pentru cazul special al curbelor eliptice semistabile, a dezvoltat metode puternice de ridicare a modularității și a descoperit noi abordări pentru numeroase alte probleme. Pentru rezolvarea ultimei teoreme a lui Fermat a fost numit cavaler și a primit alte premii. Când a apărut vestea că Wiles a câștigat premiul Abel, Academia Norvegiană de Științe a descris realizarea sa drept „o dovadă minunată și elementară a ultimei teoreme a lui Fermat”.

Cum a fost

Unul dintre cei care au analizat manuscrisul original al soluției teoremei lui Wiles a fost Nick Katz. În timpul revizuirii sale, el i-a adresat britanicului o serie de întrebări clarificatoare, ceea ce l-a forțat pe Wiles să admită că munca lui conținea în mod clar o lacună. A existat o eroare într-o parte critică a dovezii care a oferit o estimare pentru ordinea unui anumit grup: sistemul Euler folosit pentru a extinde metoda Kolyvagin și Flach a fost incomplet. Totuși, greșeala nu i-a făcut munca inutilă - fiecare parte a lucrării lui Wiles a fost foarte semnificativă și inovatoare în sine, la fel ca multe dintre dezvoltările și metodele pe care le-a creat în cursul lucrării sale, care au afectat doar o parte a lucrării sale. manuscris. Cu toate acestea, această lucrare originală, publicată în 1993, nu a oferit de fapt o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat.

Wiles a petrecut aproape un an încercând să redescopere soluția teoremei, mai întâi singur și apoi în colaborare cu fostul său elev Richard Taylor, dar toate păreau a fi în zadar. Până la sfârșitul anului 1993, se răspândiseră zvonuri că dovada lui Wiles nu a reușit la testare, dar nu se știa cât de gravă a fost eșecul. Matematicienii au început să facă presiuni asupra lui Wiles pentru a-i dezvălui detaliile lucrării sale, fie că a fost finalizată sau nu, astfel încât comunitatea mai largă de matematicieni să poată explora și folosi tot ceea ce a realizat. În loc să-și corecteze rapid greșeala, Wiles a descoperit doar complexități suplimentare în demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat și, în cele din urmă, și-a dat seama cât de dificil era.

Wiles afirmă că în dimineața zilei de 19 septembrie 1994 a fost la un pas să renunțe și să renunțe și aproape că s-a resemnat cu faptul că nu a reușit. Era dispus să-și publice lucrarea neterminată, astfel încât alții să poată construi pe ea și să găsească unde greșise. Matematicianul englez a decis să-și dea o ultimă șansă și ultima dată a analizat teorema pentru a încerca să înțeleagă principalele motive pentru care abordarea sa nu a funcționat, când și-a dat brusc seama că abordarea Kolyvagin-Flac nu va funcționa până când nu a inclus și teoria lui Iwasawa în procesul de demonstrare, făcând-o să funcționeze.

Pe 6 octombrie, Wiles a cerut trei colegi (inclusiv Faltins) să-l revizuiască nou loc de muncă, iar la 24 octombrie 1994, a depus două manuscrise - „Curbe eliptice modulare și ultima teoremă a lui Fermat” și „Proprietăți teoretice ale inelului unor algebre Hecke”, al doilea dintre care Wiles a scris împreună cu Taylor și a demonstrat că anumite condiții sunt necesare. pentru a justifica pasul corectat din articolul principal.

Aceste două lucrări au fost revizuite și în cele din urmă publicate ca o ediție integrală în numărul din mai 1995 al Annals of Mathematics. Noile calcule ale lui Andrew au fost analizate pe scară largă și în cele din urmă acceptate de comunitatea științifică. Aceste lucrări au stabilit teorema de modularitate pentru curbele eliptice semistabile, pasul final către demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat, la 358 de ani după ce a fost creată.

Istoria Marii Probleme

Rezolvarea acestei teoreme a fost considerată cea mai mare problemă din matematică timp de multe secole. În 1816 și din nou în 1850, Academia Franceză de Științe a oferit un premiu pentru o demonstrație generală a ultimei teoreme a lui Fermat. În 1857, Academia i-a acordat lui Kummer 3.000 de franci și o medalie de aur pentru cercetările sale asupra numerelor ideale, deși nu a aplicat pentru premiu. Un alt premiu i-a fost oferit în 1883 de către Academia de la Bruxelles.

Premiul Wolfskehl

În 1908, industriașul german și matematicianul amator Paul Wolfskehl a lăsat moștenire 100.000 de mărci de aur (o sumă mare pentru acea vreme) Academiei de Științe din Göttingen ca premiu pentru o demonstrație completă a ultimei teoreme a lui Fermat. La 27 iunie 1908, Academia a publicat nouă reguli de premii. Printre altele, aceste reguli impuneau publicarea dovezilor într-un jurnal evaluat de colegi. Premiul nu urma să fie acordat decât la doi ani de la publicare. Concursul urma să expire pe 13 septembrie 2007 - la aproximativ un secol după începerea sa. Pe 27 iunie 1997, Wiles a primit premiul lui Wolfschel și apoi alți 50.000 de dolari. În martie 2016, a primit 600.000 de euro de la guvernul norvegian ca parte a Premiului Abel pentru „dovada sa uluitoare a ultimei teoreme a lui Fermat folosind conjectura de modularitate pentru curbele eliptice semistabile, deschizând o nouă eră în teoria numerelor”. A fost un triumf mondial pentru umilul englez.

Înainte de demonstrația lui Wiles, teorema lui Fermat, așa cum am menționat mai devreme, a fost considerată absolut de nerezolvat timp de secole. Mii de dovezi incorecte au fost prezentate comitetului lui Wolfskehl în diferite momente, în valoare de aproximativ 10 picioare (3 metri) de corespondență. Numai în primul an de existență a premiului (1907-1908), au fost depuse 621 de cereri care pretindeau rezolvarea teoremei, deși până în anii 1970 acest număr scăzuse la aproximativ 3-4 cereri pe lună. Potrivit lui F. Schlichting, recenzentul lui Wolfschel, majoritatea dovezilor s-au bazat pe metode rudimentare predate în școli și au fost adesea prezentate de „oameni cu o pregătire tehnică, dar cu o carieră nereușită”. Potrivit istoricului de matematică Howard Aves, ultima teoremă a lui Fermat a stabilit un fel de record - este teorema cu cele mai multe dovezi incorecte.

Laurii Fermat au mers la japonezi

După cum am menționat mai devreme, în jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au descoperit o posibilă legătură între două ramuri aparent complet diferite ale matematicii - curbele eliptice și forme modulare. Teorema de modularitate rezultată (cunoscută atunci sub numele de conjectura Taniyama-Shimura) din cercetările lor afirmă că fiecare curbă eliptică este modulară, ceea ce înseamnă că poate fi asociată cu o formă modulară unică.

Teoria a fost inițial respinsă ca improbabilă sau foarte speculativă, dar a fost luată mai în serios atunci când teoreticianul numerelor Andre Weyl a găsit dovezi care să susțină concluziile japonezilor. Ca urmare, conjectura a fost adesea numită conjectura Taniyama-Shimura-Weil. A devenit parte a programului Langlands, care este o listă de ipoteze importante care necesită dovezi în viitor.

Chiar și după o atenție serioasă, conjectura a fost recunoscută de matematicienii moderni ca fiind extrem de dificil sau poate imposibil de demonstrat. Acum, această teoremă îl așteaptă pe Andrew Wiles, care ar putea surprinde întreaga lume cu soluția ei.

Teorema lui Fermat: demonstrația lui Perelman

În ciuda mitului popular, matematicianul rus Grigory Perelman, cu tot geniul său, nu are nimic de-a face cu teorema lui Fermat. Ceea ce, însă, nu diminuează în niciun fel numeroasele sale servicii către comunitatea științifică.

Ghicitoare cu cărți de Tarot