Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .
Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.
Правила записи при делении столбиком.
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой - так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .
Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.
Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.
Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :
512:8=?
Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:
Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.
1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).
После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.
3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:
Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).
Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .
4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.
Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).
В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.
Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.
5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.
Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:
В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).
Деление столбиком многозначных натуральных чисел.
Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.
Например , 1976 разделим на 26.
- Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов - 19.
- Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов - 197.
- Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
- Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
- 156 делим на 26, получаем 6.
Значит, 1976: 26 = 76.
Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.
Деление с десятичной дробью в частном.
Десятичные дроби онлайн. Перевод десятичных дробей в обычные и обычных дробей в десятичные.
Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.
Например , 64 разделим на 5.
- 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
- Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
- 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
- 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
- 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.
Значит, 64: 5 = 12,8
Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.
Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .
Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:
За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:
Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:
Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:
Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:
Как делить столбиком
Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:
Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:
это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:
В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.
Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра - 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.
Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:
Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:
Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.
К получившемуся остатку - 6, сносим следующую цифру делимого - 0. В результате, получилось неполное делимое - 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное - оно записано под делителем:
Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.
Определяем неполное делимое - это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:
Сносим следующую цифру делимого - 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:
Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:
Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.
Определяем неполное делимое - это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток - 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:
Деление столбиком с остатком
Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.
Определяем неполное делимое - это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:
Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:
1340: 23 = 58 (остаток 6)
Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток - 3:
3: 10 = 0 (остаток 3)
Калькулятор деления столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.
В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком . Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.
Навигация по странице.
Общее представление о делении целых чисел с остатком
Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел . Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел .
Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.
По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным , если остаток равен нулю).
Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число , и его величина не превосходит b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).
Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .
Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело ). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.
Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.
С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.
Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .
Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком .
Теорема.
Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .
Доказательство.
Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .
Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .
Теперь будем считать, что b
– целое положительное число. Выберем целое число q
таким образом, чтобы произведение b·q
не превышало числа a
, а произведение b·(q+1)
было уже больше, чем a
. То есть, возьмем q
таким, чтобы выполнялись неравенства b·q Осталось доказать возможность представления a=b·q+r
для отрицательных b
.
Так как модуль числа b
в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1
– некоторое целое число, а r
– целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1
, получаем нужное нам представление a=b·q+r
для отрицательных b
.
Переходим к доказательству единственности.
Предположим, что помимо представления a=b·q+r
, q
и r
– целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1
, где q 1
и r 1
– некоторые целые числа, причем q 1 ≠q
и .
После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1
, которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q)
. Тогда должно быть справедливо и равенство вида Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q
и q 1
– целые и q≠q 1
, то , откуда заключаем, что Равенство a=b·c+d
позволяет находить неизвестное делимое a
, если известны делитель b
, неполное частное c
и остаток d
. Рассмотрим пример. Пример.
Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21
получилось неполное частное 5
и остаток 12
?
Решение.
Нам требуется вычислить делимое a
, когда известен делитель b=−21
, неполное частное c=5
и остаток d=12
. Обратившись к равенству a=b·c+d
, получаем a=(−21)·5+12
. Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21
и 5
по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93
.
Ответ:
−93
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c
, c=(a−d):b
и d=a−b·c
. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a
на целое число b
, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c
. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка. Пример.
Найдите остаток от деления целого числа −19
на целое число 3
, если известно, что неполное частное равно −7
.
Решение.
Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c
. Из условия имеем все необходимые данные a=−19
, b=3
, c=−7
. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=
−19−(−21)=−19+21=2
(разность −19−(−21)
мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).
Ответ:
Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел. С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел. Пример.
Выполните деление с остатком числа 14 671
на 54
.
Решение.
Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком: Неполное частное получилось равным 271
, а остаток равен 37
.
Ответ:
14 671:54=271 (ост. 37)
.
Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число. Неполное частное от деления целого положительного числа a
на целое отрицательное число b
представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a
на модуль числа b
, а остаток от деления a
на b
равен остатку от деления на . Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом . Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное: Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное. Пример.
Выполните деление с остатком целого положительного числа 17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделив Число, противоположное числу 3
, - это −3
. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17
на −5
равно −3
, а остаток равен 2
.
Ответ:
17
:(−5)=−3 (ост. 2)
. Пример.
Разделите 45
на −15
.
Решение.
Модули делимого и делителя равны 45
и 15
соответственно. Число 45
делится на 15
без остатка, частное при этом равно 3
. Следовательно, целое положительное число 45
делится на целое отрицательное число −15
без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3
, то есть, −3
. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .
Ответ:
45:(−15)=−3
.
Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное. Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое положительное число b
нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
. Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом. Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a
на целое положительное b
: Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком. Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
.
Решение.
Модуль делимого −17
равен 17
, а модуль делителя 5
равен 5
.
Разделив 17
на 5
, получаем неполное частное 3
и остаток 2
.
Число, противоположное 3
, есть −3
. Вычитаем из −3
единицу: −3−1=−4
. Итак, искомое неполное частное равно −4
.
Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17
, b=5
, c=−4
, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
равно −4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):5=−4 (ост. 3)
.
Пример.
Разделите целое отрицательное число −1 404
на целое положительное число 26
.
Решение.
Модуль делимого равен 1 404
, модуль делителя равен 26
.
Разделим 1 404
на 26
столбиком: Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54
, то есть, −54
.
Ответ:
(−1 404):26=−54
.
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел. Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое отрицательное число b
, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
. Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом. Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел: Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера. Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.
Модуль делимого равен 17
, модуль делителя равен 5
.
Деление 17
на 5
дает неполное частное 3
и остаток 2
.
К неполному частному 3
прибавляем единицу: 3+1=4
. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17
на −5
равно 4
.
Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17
, b=−5
, c=4
, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
равно 4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):(−5)=4 (ост. 3)
.
После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d
неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d
. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка. Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком. Пример.
При делении числа −521
на −12
было получено неполное частное 44
и остаток 7
, выполните проверку результата.
Решение.
−2
при b=−3
, c=7
, d=1
. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20
. Таким образом, равенство a=b·c+d
– неверное (в нашем примере a=−19
).
Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.
От общего представления о делении натуральных чисел с остатком будем двигаться дальше, и в этой статье мы разберемся с принципами, по которым проводится это действие. Вообще деление с остатком
имеет много общего с делением натуральных чисел без остатка , так что мы будем часто ссылаться на материал указанной статьи. Сначала разберемся с делением натуральных чисел с остатком в столбик. Дальше мы покажем, как можно отыскать результат деления натуральных чисел с остатком, проводя последовательное вычитание. После этого перейдем к методу подбора неполного частного, не забывая при этом приводить примеры с подробным описанием решения. Далее запишем алгоритм, позволяющий проводить деление натуральных чисел с остатком в общем случае. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата деления натуральных чисел с остатком. Навигация по странице.
Одним из самых удобных способов деления натуральных чисел с остатком является деление столбиком. В статье деление натуральных чисел столбиком мы очень подробно разобрали этот метод деления. Здесь не будем повторяться, а просто приведем решение одного примера. Пример.
Выполните деление с остатком натурального числа 273 844
на натуральное число 97
.
Решение.
Проведем деление столбиком: Таким образом, неполное частное от деления 273 844
на 97
равно 2 823
, а остаток равен 13
.
Ответ:
273 844:97=2 823 (ост. 13)
.
Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя. Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления. Приведем пример. Пример.
Допустим, нам нужно разделить 7
на 3
.
Решение.
Представим, что нам нужно разложить 7
яблок в пакеты по 3
яблока. Из исходного количества яблок мы берем 3
штуки и кладем их в первый пакет. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел у нас остается 7−3=4
яблока. Из них мы опять берем 3
штуки, и кладем их во второй пакет. После этого у нас остается 4−3=1
яблоко. Понятно, что на этом процесс заканчивается (мы не можем сформировать еще один пакет с требуемым количеством яблок, так как оставшееся количество яблок 1
меньше нужного нам количества 3
). В итоге мы имеем два пакета с требуемым количеством яблок и одно яблоко в остатке.
Тогда в силу смысла деления натуральных чисел с остатком можно утверждать, что мы получили следующий результат 7:3=2 (ост. 1)
.
Ответ:
7:3=2 (ост. 1)
.
Рассмотрим решение еще одного примера, при этом приведем лишь математические выкладки. Пример.
Разделите натуральное число 145
на 46
, выполняя последовательное вычитание.
Решение.
145−46=99
(при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как 99
больше, чем 46
, то проводим вычитание делителя второй раз: 99−46=53
. Так как 53>46
, то вычитаем делитель третий раз: 53−46=7
. Так как 7
меньше, чем 46
, то еще раз провести вычитание мы не сможем, то есть, на этом заканчиваем процесс последовательного вычитания.
В итоге нам потребовалось из делимого 145
последовательно вычесть 3
раза делитель 46
, после чего получился остаток 7
. Таким образом, 145:46=3 (ост. 7)
.
Ответ:
145:46=3 (ост. 7)
.
Следует заметить, что если делимое меньше делителя, то мы не сможем проводить последовательное вычитание. Да это и не нужно, так как в этом случае мы можем сразу написать ответ. В этом случае неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. То есть, если a
Еще нужно сказать, что выполнять деление натуральных чисел с остатком рассмотренным способом хорошо лишь тогда, когда для получения результата требуется провести небольшое количество последовательных вычитаний. При делении данных натуральных чисел a
и b
с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить. Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел 0
, 1
, 2
, 3
, ... Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное. Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c
, задающее , а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком). Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a
и делитель b
нам известны изначально, в качестве неполного частного c
мы последовательно принимаем числа 0
, 1
, 2
, 3
, …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c
и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c
на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c
является остатком от деления. Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере. Пример.
Выполните деление с остатком натурального числа 267
на 21
.
Решение.
Подберем неполное частное. В нашем примере a=267
, b=21
. Будем последовательно придавать c
значения 0
, 1
, 2
, 3
, …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c
и сравнивая его с делителем 21
.
При c=0
имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267
(сначала выполняется умножение натуральных чисел , а затем – вычитание, об этом написано в статье ). Полученное число больше, чем 21
(при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.
При c=1
имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246
. Так как 246>21
, то продолжаем процесс.
При c=2
получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225
. Так как 225>21
, то двигаемся дальше.
При c=3
имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204
. Так как 204>21
, то продолжаем подбор.
При c=12
получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15
. Получили число 15
, которое меньше, чем 21
, поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12
, при этом остаток d
получился равным 15
.
Ответ:
267:21=12 (ост. 15)
.
В этом пункте мы рассмотрим алгоритм, позволяющий проводить деление с остатком натурального числа a
на натуральное число b
в тех случаях, когда метод последовательного вычитания (и метод подбора неполного частного) требует слишком большого количества вычислительных операций. Сразу отметим, что если делимое a
меньше, чем делитель b
, то мы знаем и неполное частное и остаток: при ab
. Прежде чем мы подробно опишем все шаги алгоритма деления натуральных чисел с остатком, ответим на три вопроса: что нам изначально известно, что нам нужно найти и исходя из каких соображений мы это будем делать? Изначально нам известно делимое a
и делитель b
. Нам нужно найти неполное частное c
и остаток d
. Равенство a=b·c+d
задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком . Из записанного равенства следует, что если мы представим делимое a
в виде суммы b·c+d
, в которой d
меньше, чем b
(так как остаток всегда меньше делителя), то мы увидим и неполное частное c
и остаток d
. Осталось лишь разобраться, как делимое a
представить в виде суммы b·c+d
. Алгоритм, позволяющий это сделать, очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка . Опишем все шаги, и одновременно будем вести решение примера для большей ясности. Разделим 899
на 47
. Первые пять пунктов алгоритма позволят представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Нужно отметить, что действия из этих пунктов циклически повторяются снова и снова, пока не будут найдены все слагаемые, дающие в сумме делимое. В заключительном шестом пункте полученная сумма преобразуется к виду b·c+d
(если полученная сумма уже не будет иметь такой вид), откуда становятся видны искомое неполное частное и остаток. Итак, приступаем к представлению делимого 899
в виде суммы нескольких слагаемых. Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число. В нашем примере в записи делимого 3
знака (899
– трехзначное число), а в записи делителя – два знака (47
– двузначное число), следовательно, в записи делимого на один знак больше, и мы запоминаем число 1
. Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0
в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1
. Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 47
дописываем справа одну цифру 0
, и получаем число 470
. Так как 470<899
, то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1
. Таким образом, у нас в памяти остается число 1
. После этого к цифре 1
справа приписываем цифры 0
в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше. В нашем примере к цифре 1
приписываем 1
цифру 0
, при этом получаем число 10
, то есть, мы будем работать с разрядом десятков. Теперь последовательно умножаем делитель на 1
, 2
, 3
, … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее или равное делимому. Мы выяснили, что в нашем примере рабочим разрядом является разряд десятков. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда десятков, то есть, умножаем 47
на 10
, получаем 47·10=470
. Полученное число 470
меньше делимого 899
, поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда десятков, то есть 47
умножаем на 20
. Имеем 47·20=940
. Мы получили число, которое больше, чем 899
. Число, полученное на предпоследнем шаге при последовательном умножении, является первым из искомых слагаемых. В разбираемом примере искомым слагаемым является число 470
(это число равно произведению 47·100
, это равенство мы используем позже). После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, большее делителя, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет меньше делителя. Как только это произошло, то полученное здесь число принимаем в качестве последнего искомого слагаемого (забегая вперед, скажем, что оно равно остатку), и переходим к завершающему этапу. Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 899−470=429
. Так как 429>47
, то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все этапы алгоритма. В записи числа 429
на один знак больше, чем в записи числа 47
, поэтому, запоминаем число 1
. Теперь в записи делимого справа дописываем одну цифру 0
, получаем число 470
, которое больше числа 429
. Поэтому, из запомненного в предыдущем пункте числа 1
вычитаем 1
, получаем число 0
, которое и запоминаем. Так как в предыдущем пункте мы запомнили число 0
, то к цифре 1
не нужно справа приписывать ни одной цифры 0
. При этом имеем число 1
, то есть, рабочим разрядом является разряд единиц. Теперь последовательно умножаем делитель 47
на 1
, 2
, 3
, … Не будем останавливаться на этом подробно. Скажем лишь, что 47·9=423<429
, а 47·10=470>429
. Вторым искомым слагаемым является число 423
(которое равно 47·9
, что мы используем дальше). Разность между 429
и 423
равна 6
. Это число меньше, чем делитель 47
, поэтому оно является третьим (и последним) искомым слагаемым. Теперь мы можем переходить к завершающему этапу. Ну вот мы и подошли к заключительному этапу. Все предыдущие действия были направлены на то, чтобы представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Теперь полученную сумму осталось преобразовать к виду b·c+d
. С этой задачей нам поможет справиться распределительное свойство умножения относительно сложения . После этого станут видны искомое неполное частное и остаток. В нашем примере делимое 899
равно сумме трех слагаемых 470
, 423
и 6
. Сумму 470+423+6
можно переписать в виде 47·10+47·9+6
(помните, мы обращали внимание на равенства 470=47·10
и 423=47·9
). Теперь применяем свойство умножения натурального числа на сумму, при этом получаем 47·10+47·9+6=
47·(10+9)+6=
47·19+6
. Таким образом, делимое преобразовано к нужному нам виду 899=47·19+6
, откуда легко находится неполное частное 19
и остаток 6
. Итак, 899:47=19 (ост. 6)
. Конечно же, при решении примеров Вы не будете настолько подробно описывать процесс деления с остатком. Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал. Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление. Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление». Итак, как объяснить ребенку деление столбиком
: Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе. Начинайте с простого — деление на однозначное число: Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться. Например, 256 разделить на 4: Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры. Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа. Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять: Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит. Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа: Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число. Например: Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно. Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему. Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3): После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3: Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал. Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление. Алгоритм деления чисел заключается в следующем: По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее). Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например: Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление: Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.
, а в силу свойств модуля числа - и равенство 
.
. Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a
, кроме a=b·q+r
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Проверка результата деления целых чисел с остатком
Деление натуральных чисел в столбик с остатком
Деление натуральных чисел с остатком через последовательное вычитание
Подбор неполного частного
Алгоритм деления натуральных чисел с остатком, примеры, решения
Письменное деление на двузначное число
Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение
Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2
